Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Contour plot van de betafunctie
Waarden van de betafunctie in het reële vlak
De bètafunctie van Euler is een speciale functie in de wiskunde, die gedefinieerd is als

voor complexe getallen
en
waarvan het reële deel groter is dan 0. Deze functie is symmetrisch in
en
, wat wil zeggen dat
.
De bètafunctie is gerelateerd aan de gammafunctie; er geldt

De bètafunctie kan op veel andere manieren geschreven worden:






Er is een goniometrische vorm van de Bètafunctie:

Uit de formule van Euler kunnen de volgende speciale gevallen worden afgeleid:

Veel bètafunctiewaarden voor rationale getalparen kunnen worden weergegeven met pi en met volledige elliptische integralen van de eerste soort.
![{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)=2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}\,K\left[{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176c1f3f00d02bd587ab3b96339d0307fda202fa)

![{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}}\right)=4{\sqrt[{4}]{7}}\cos \left({\frac {\pi }{14}}\right)K\left[{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb10f97dcc8c18acf9b6fdd9c56ffe36adc352d)
![{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {3}{8}},{\frac {3}{8}}\right)=4{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4223218476610b88b74c2cfd01dcc3a200138e28)
![{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {2}{15}},{\frac {8}{15}}\right)=3^{3/4}5^{5/12}\sec \left({\frac {\pi }{5}}\right)K\left[{\frac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e7ea3b9649bcd1018f69b3f17b5e68cd3e0062)