In de groepentheorie is een ondergroep of deelgroep[1] van een gegeven groep met de groepsbewerking een deelverzameling van die zelf ook een groep is bij dezelfde groepsbewerking . Dat een ondergroep is van , wordt genoteerd met .
Definitie
De deelverzameling van een groep heet een ondergroep van , als met de groepsbewerking van zelf een groep is.
Dat houdt in dat de beperking van de bewerking tot voldoet aan de axioma's voor groepsbewerking.
Als de ondergroep van een groep gevormd wordt door een echte deelverzameling van , is een echte ondergroep van . Voor iedere groep is er de triviale ondergroep met alleen het neutrale element.
Nevenklassen
Gegeven een groep en een ondergroep , dan onderscheidt men voor ieder element de nevenklassen van in . De linkernevenklasse van bepaald door is
en de rechternevenklasse
- .
Iedere ondergroep van een groep heeft in altijd evenveel linker- als rechternevenklassen. Een ondergroep heet een normaaldeler van de groep als linker- en rechternevenklassen samenvallen.
Orde
Voor een eindige groep kan de orde, dat wil zeggen het aantal elementen, van die groep door de orde van alle ondergroepen ervan worden gedeeld. Dat is de stelling van Lagrange. Het quotiënt van de orde van en van is het aantal nevenklassen van in .
Eigenschappen
- Het neutrale element van een ondergroep is hetzelfde als het neutrale element van zelf.
- De inverse van een element in een ondergroep is gelijk aan de inverse van het element in de groep .
- De doorsnede van twee ondergroepen is ook een ondergroep.
- Een deelverzameling is dan en slechts dan een ondergroep van de groep , als in tenminste het neutrale element voorkomt, gesloten is onder de groepsbewerking en de inverse van ieder element ook een element van is. Dit houdt in: dat met ook en .
- Als eindig is, dan is dan en slechts dan een ondergroep van , als gesloten is onder vermenigvuldiging. In dit geval genereert elk element een eindige cyclische ondergroep van en is de inverse van gelijk aan , waarin de orde is van . Dat betekent dat het kleinste getal is, zodat met het neutrale element van en van .
- Ieder element van een groep genereert een cyclische ondergroep . Als er een positief geheel getal is zodanig dat isomorf is met , dan is gelijk aan de orde van . Is isomorf met , dan zegt men dat van een oneindige orde is.
- Voor een deelverzameling bestaat er een kleinste ondergroep die omvat. is de doorsnede van alle ondergroepen die omvatten, wordt aangeduid met en de door voortgebrachte ondergroep genoemd. Een element van is dan en slechts dan een element van als het een eindig product is van elementen van en hun inverses.
- De ondergroepen van een groep vormen onder inbedding een volledige tralie die de tralie van ondergroepen wordt genoemd.
- Ondergroepen van cyclische groepen zijn ook cyclisch.
- De vereniging van ondergroepen is alleen dan een ondergroep in het triviale geval dat een van beide ondergroepen de andere omvat.
Voorbeeld
Laat een commutatieve groep zijn met als groepsbewerking de optelling modulo acht. De cayley-tabel van de groep is
+ 0 2 4 6 1 3 5 7 0 0 2 4 6 1 3 5 7 2 2 4 6 0 3 5 7 1 4 4 6 0 2 5 7 1 3 6 6 0 2 4 7 1 3 5 1 1 3 5 7 2 4 6 0 3 3 5 7 1 4 6 0 2 5 5 7 1 3 6 0 2 4 7 7 1 3 5 0 2 4 6
Het neutrale element onder optellen van deze groep is 0. Deze groep wordt onder optellen door het element 1 voortgebracht, dus is een cyclische groep. De groep heeft een paar niet-triviale ondergroepen: , en is een ondergoep van . De cayley-tabel voor bestaat uit het linkerboven kwadrant van de cayley-tabel voor .
- ↑ In Nederland is ondergroep gebruikelijk, in Vlaanderen is deelgroep gangbaarder.