In de wiskunde is een equivalentierelatie een tweeplaatsige relatie die alle elementen uit een verzameling die in bepaalde zin aan elkaar gelijkwaardig zijn, aan elkaar koppelt. Een equivalentierelatie deelt de verzameling op in klassen van elementen die gelijkwaardig aan elkaar zijn. Op dezelfde dag geboren zijn als is bijvoorbeeld een equivalentierelatie, die de verzameling van alle mensen opdeelt in groepen van mensen die op dezelfde dag geboren zijn.
Definitie
Een equivalentierelatie op een verzameling is een tweeplaatsige relatie op met de eigenschappen:
- reflexiviteit: voor alle geldt:
- symmetrie: voor alle geldt: als , dan
- transitiviteit: voor alle geldt: als en , dan
Een equivalentierelatie kan ook gedefinieerd worden als een tweeplaatsige relatie op met de eigenschappen:
- reflexiviteit: voor alle geldt:
- euclidiciteit: voor alle geldt: als en , dan
De beide definities zijn equivalent. Dat wil zeggen: als een equivalentierelatie is volgens de eerste definitie, dan is ook een equivalentierelatie volgens de tweede definitie en omgekeerd.
Voorbeelden
- De relatie ‘heeft dezelfde absolute waarde’ is een equivalentierelatie op de gehele getallen.
- De relatie ‘is groter dan’ is geen equivalentierelatie omdat ze noch symmetrisch, noch reflexief is.
- De relatie ‘is gehuwd met’ is geen equivalentierelatie op de verzameling van alle mensen, omdat ze niet reflexief is.
- De relatie ‘is gelijkvormig met’ is een equivalentierelatie op de verzameling van alle driehoeken in een vlak.
- De relatie ‘verschilt ten hoogste met één letter van’ is geen equivalentierelatie op de verzameling der Nederlandse woorden, omdat ze niet transitief is.
- De identieke transformatie van , de verzameling van alle identieke koppels van , is de kleinst mogelijke equivalentierelatie op .
- Het volledige cartesisch product is de grootst mogelijke equivalentierelatie op .
- In een pseudometrische ruimte is de relatie ‘heeft afstand 0 tot‘ een equivalentierelatie. De transitiviteit volgt uit de driehoeksongelijkheid.
- De relatie ‘maakt deel uit van hetzelfde huishouden‘ is een equivalentierelatie op de verzameling personen.
Equivalentieklasse
Als een equivalentierelatie is op , heet de deelverzameling van elementen van die equivalent zijn met het element , de equivalentieklasse van onder :
Als uit de context duidelijk is welke equivalentierelatie wordt bedoeld, wordt meestal eenvoudig geschreven voor de equivalentieklasse van .
Eigenschappen
Zij een equivalentierelatie op .
Eigenschap 1
Voor alle geldt dat . Iedere zit dus in ten minste één equivalentieklasse van .
- Bewijs
Zij . Uit de reflexiviteit van volgt dat , wat betekent dat .
Eigenschap 2
Voor alle geldt: als , dan is ; en zitten dan in dezelfde equivalentieklasse.
- Bewijs
Zij , zodanig dat . Voor elke geldt: . Maar dan is vanwege de transitiviteit ook , dus . Kennelijk is . Op dezelfde manier is , waaruit volgt dat .
Eigenschap 3
Voor alle geldt: als en , is . Iedere zit dus in ten hoogste één equivalentieklasse van .
- Bewijs
Zij zodanig dat en . Uit de definitie van equivalentieklasse volgt dan dat en . De symmetrie van geeft , de transitiviteit dat en weer de symmetrie dat . Eigenschap 2 geeft vervolgens dat .
Eigenschap 4
Voor alle geldt: als en in dezelfde equivalentieklasse zitten, staan en met elkaar in -relatie.
- Bewijs
Zij en zowel als voor een zekere . Uit de definitie van equivalentieklasse volgt dat en . Uit de symmetrie van volgt dat ook , en uit de transitiviteit van blijkt vervolgens dat . Op dezelfde manier is te bewijzen dat .
Gevolg 1
Iedere zit in precies één equivalentieklasse van .
- Bewijs
Dit volgt direct uit eigenschappen 1 en 3.
Gevolg 2
Voor alle geldt: , dan en slechts dan als en in dezelfde equivalentieklasse zitten.
- Bewijs
Dit volgt direct uit eigenschappen 2 en 4.
Quotiëntverzameling
Als een equivalentierelatie op is, dan heet de verzameling van alle equivalentieklassen van
de quotiëntverzameling van onder .
Een aantal eigenschappen van quotiëntverzamelingen wordt hieronder bewezen.
Eigenschap 1
De quotiëntverzameling van een equivalentierelatie op een verzameling is een partitie van
- Bewijs
Zij een equivalentierelatie op . Gevolg 1 in de paragraaf over equivalentieklassen stelt dat iedere in precies een equivalentieklasse van zit, dus in precies een element van . Uit de definitie van equivalentieklasse volgt verder dat er geen elementen in enige equivalentieklasse van zitten, wat samen met het voorgaande bewijst dat de vereniging van alle elementen van gelijk aan is. De lege verzameling, ten slotte, is geen element van de quotiëntverzameling. In de quotiëntverzameling zitten immers enkel equivalentieklassen en uit eigenschap 1 van equivalentieklassen volgt dat die altijd ten minste één element hebben.
Eigenschap 2
Iedere equivalentierelatie op levert een unieke quotiëntverzameling op. Er zijn, met andere woorden, geen twee verschillende equivalentierelaties op die dezelfde quotiëntverzameling van opleveren.
- Bewijs
Zij en twee equivalentierelaties op waarvoor geldt dat . Voor twee willekeurige elementen volgt in twee stappen dat dan en slechts dan, als . Stel, ten eerste, dat . Uit eigenschap 2 van de equivalentieklassen blijkt dat en in dezelfde equivalentieklasse zitten. Omdat is , wat betekent dat en ook onder in dezelfde equivalentieklasse zitten. Daaruit volgt, m.b.v. eigenschap 4 van equivalentieklassen, dat . Ten tweede is op dezelfde manier te bewijzen dat uit volgt dat . Uit deze twee stappen blijkt dat dan en slechts dan, als . Hieruit volgt dat , waarmee bewezen is dat als en dezelfde quotiëntverzameling hebben, ze dezelfde equivalentierelatie zijn.
Hoofdstelling
Er is een overeenkomst, een bijectie tussen de equivalentierelaties op en de partities van een verzameling. Dit verband wordt uitgedrukt door de hoofdstelling van equivalentierelaties.
Voor een gegeven partitie van een verzameling is de relatie op , gedefinieerd door de eis dat voor alle :
- dan en slechts dan, als er een waarvoor en ,
een equivalentierelatie.
Hulpstelling 1
Voor iedere partitie van is een equivalentierelatie op .
- Bewijs
Zij een partitie van . We bewijzen dat reflexief, symmetrisch en transitief is. Zij . Reflexiviteit en symmetrie volgen direct uit de definitie van . Neem, om transitiviteit te bewijzen, aan dat en . Dat betekent dat er een is zodanig dat en een zodanig dat . Omdat de klassen van een partitie disjunct zijn en in zowel als zit, volgt dat . Hieruit volgt per definitie van dat .
Hulpstelling 2
Gegeven een partitie van geldt voor iedere : als , is de equivalentieklasse van onder .
- Bewijs
Zij een partitie van en . Neem aan dat . Omdat een partitie is, is er geen andere klasse en waar in zit. Per definitie van volgt daarom dat voor alle geldt:
- dan en slechts dan, als .
Dat betekent dat
dus dat .
Stelling 3
Iedere partitie van een verzameling is de quotiëntverzameling van een equivalentierelatie op , namelijk van .
- Bewijs
Zij een partitie van . Uit hulpstelling 1 volgt dat een equivalentierelatie is. We bewijzen in twee stappen dat . Neem ten eerste een willekeurige . Omdat een partitie is, is er een . Uit hulpstelling 2 volgt dan dat , wat bewijst dat , dus dat . Neem ten tweede een willekeurige . Omdat een partitie is, volgt dat er precies een is waarvoor geldt dat . Uit hulpstelling 2 volgt dan weer dat , dus dat . Dit betekent dat , waarmee bewezen is dat .
Hoofdstelling van equivalentierelaties
Er is een bijectie tussen alle equivalentierelaties op een verzameling en alle partities van dezelfde verzameling .
- Bewijs
Gegeven een verzameling , laat de verzameling zijn van alle equivalentierelaties op en de verzameling van alle partities van . We bewijzen dat de afbeelding
een bijectie tussen en is. Uit eigenschap 1 in de paragraaf over quotiëntverzamelingen volgt dat alle equivalentierelaties in op een partitie in afbeeldt. Met andere woorden: is een volledige afbeelding. Uit eigenschap 2 in dezelfde paragraaf volgt dat injectief is. Stelling 3 bewijst dat er voor iedere partitie een equivalentierelatie is zodanig dat , oftewel dat surjectief is. Dit bewijst dat een bijectie is.
Geconstrueerde equivalentierelaties
De doorsnede van een willekeurige familie equivalentierelaties op dezelfde verzameling, is opnieuw een equivalentierelatie. Dat kan niet anders, omdat iedere equivalentierelatie reflexief is. Hierdoor bestaat voor elke relatie een unieke kleinste equivalentierelatie die de gegeven relatie omvat.