In de wiskunde is een functieruimte een verzameling van een bepaalde soort functies van een verzameling naar een verzameling . Het wordt een ruimte genoemd, omdat het in vele toepassingen, een topologische ruimte, een vectorruimte of beide is.
Voorbeelden
Functieruimten komen in verschillende deelgebieden van de wiskunde voor:
- In de verzamelingenleer kan de machtsverzameling van een verzameling worden geïdentificeerd met de verzameling van alle functies van naar het interval , weergegeven door . Meer in het algemeen wordt de verzameling van functies aangeduid door .
- In de lineaire algebra is de verzameling van alle lineaire transformaties van een vectorruimte naar een andere vectorruimte , over hetzelfde lichaam/veld, zelf eveneens een vectorruimte. Dit geldt ook voor verzamelingen van functies van een verzameling naar een vectorruimte , mits de verzameling functies gesloten is ten aanzien van optelling en scalaire vermenigvuldiging. Het kan bijvoorbeeld gaan om de -dimensionale ruimte van polynomen tot en met graad , of de aftelbaar-oneindigdimensionale ruimte van alle polynomen, of de overaftelbaardimensionale ruimte van alle reële functies, steeds op een vast reëel interval of de hele reële ruimte.
- In de functionaalanalyse geldt hetzelfde voor continue lineaire transformaties, waaronder topologieën op vectorruimten in het bovenstaande, en veel van de belangrijkste voorbeelden zijn functieruimten die een topologie met zich mee dragen; onder de meest bekende voorbeelden zijn onder meer de hilbertruimten en de banachruimten.
- In de functionaalanalyse wordt de verzameling van alle functies van de natuurlijke getallen naar een verzameling een rijruimte genoemd. De rijruimte bestaat uit de verzameling van alle mogelijke rijen van elementen van .