In de galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een algebraïsch getallenlichaam in Nederland of algebraïsch getallenveld in België, ook korter getallenlichaam of getallenveld, een eindige, dus ook algebraïsche uitbreiding van het lichaam/veld van de rationale getallen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Het is een gevolg van de hoofdstelling van de algebra, dat ieder algebraïsch getallenlichaam een deelverzameling van de verzameling van de complexe getallen is.

Als aan ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ de nulpunten van een of meer polynomen worden toegevoegd, ontstaat een algebraïsch getallenlichaam als uitbreiding van ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Door aan ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ de algebraïsche getallen ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ toe te voegen die nulpunten zijn van een of meer polynomen, ontstaat een algebraïsch getallenlichaam dat wordt genoteerd als ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$. Het maakt geen verschil, dat het om de uitbreiding van ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ gaat waar algebraïsche getallen in het algemeen of waar alleen algebraïsch gehele getallen aan worden toegevoegd, omdat ieder algebraïsch getal element is van ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ met daar één algebraïsch geheel getal aan toegevoegd.

De verzameling rationale getallen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ is een deelverzameling van elk algebraïsch getallenlichaam ${\displaystyle F}$. Als ${\displaystyle F}$ opgevat wordt als een vectorruimte over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, heeft ${\displaystyle F}$ een eindige dimensie, die de graad van het algebraïsche getallenlichaam ${\displaystyle F}$ genoemd wordt.

De getallen ${\displaystyle \alpha _{1}={\sqrt[{3}]{2}}}$, een nulpunt van ${\displaystyle f_{1}(x)=x^{3}-2,}$ en ${\displaystyle \alpha _{2}=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i{\sqrt {3}},}$ een nulpunt van ${\displaystyle f_{2}(x)=x^{2}+x+1,}$ zijn algebraïsche getallen. Het algebraïsche getallenlichaam dat ontstaat door aan ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ de algebraïsche getallen ${\displaystyle \alpha _{1}}$ en ${\displaystyle \alpha _{2}}$ toe te voegen, heet ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2}).}$ De graad van ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i{\sqrt {3}})}$ is 6.

• (en) Serge Lang, Algebraic Number Theory, Algebraïsche getaltheorie, 2e ed, Springer, 2000