In de lineaire algebra is de getransponeerde matrix of kortweg de getransponeerde van een matrix de matrix die ontstaat door een van de onderstaande twee acties op uit te voeren:
- Schrijf de rijen van als de kolommen van .
- Schrijf de kolommen van als de rijen van .
Als een vierkante matrix is komt dat er op neer dat om zijn hoofddiagonaal wordt gespiegeld. Als men hetzelfde voor de tweede keer uitvoert, is het resultaat de oorspronkelijke matrix , ook als geen vierkante matrix is.
wordt ook geschreven als of als . De notatie wordt in MATLAB voor de getransponeerde matrix van gebruikt.
De Britse wiskunde Arthur Cayley heeft de getransponeerde matrix in 1858 ingevoerd.[1]
Definitie
De getransponeerde matrix van een -matrix is de -matrix gedefinieerd door:
- voor
Voorbeelden
Eigenschappen
Voor de matrices en en de scalair gelden de volgende eigenschappen van de transpositie-operatie:
- Transponeren behoudt optelling.
- Merk op dat de volgorde van de factoren omdraait. Hieruit kan worden afgeleid dat een vierkante matrix inverteerbaar is dan en slechts dan als inverteerbaar is en in dat geval is Dit resultaat kan worden uitgebreid naar het algemene geval van meer dan twee matrices. Dan geldt .
- De getransponeerde van een scalair is dezelfde scalair. Samen met (2) volgt daaruit dat transponeren een lineaire afbeelding is van de vectorruimte van -matrices naar de ruimte van alle -matrices.
- Het spoor van een vierkante matrix is gelijk aan het spoor van zijn getransponeerde matrix.
- De determinant van een vierkante matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde matrix.
- De rang van iedere matrix is gelijk aan de rang van de getransponeerde matrix van
- Het inwendige product van twee kolomvectoren en kan worden berekend als
- Als de matrix alleen reële elementen heeft, dan is een positief-semidefiniete matrix.
- Als een matrix is over een lichaam/veld, dan is gelijksoortig met
- Voor een inverteerbare matrix is de getransponeerde van de inverse matrix de inverse van de getransponeerde.
- Als een vierkante matrix is, dan zijn de eigenwaardes gelijk aan de eigenwaardes van zijn getransponeerde matrix.
Matrices met bijzondere eigenschappen onder transpositie
- Een vierkante matrix die gelijk is aan zijn getransponeerde wordt een symmetrische matrix genoemd, dat wil zeggen dat symmetrisch is als geldt
- Een vierkante matrix waarvan de getransponeerde ook de inverse matrix is, is een orthogonale matrix. Dat wil zeggen dat de matrix orthogonaal is als geldt
- , waarin de eenheidsmatrix is
- dus
- De kolommen van zijn orthonormaal.
- Een vierkante matrix die gelijk is aan de tegengestelde van zijn getransponeerde matrix, wordt een antisymmetrische matrix genoemd. Dat wil zeggen dat de matrix antisymmetrisch is als
- Een hermitische matrix is een matrix die gelijk is aan de geconjugeerde getransponeerde matrix ervan, genoteerd
- Dit wordt vaak afgekort tot . Dus
- Een normale matrix is een matrix die commuatief is met de geconjugeerde getransponeerde matrix ervan:
- ↑ A Cayley. A memoir on the theory of matrices, 1858. voor Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148, blz 17–37, getransponeerde op blz 31