Papoenasjvili speelde vanaf 2004 in de jeugdopleiding van Dinamo Tbilisi. In 2013 maakte de vleugelspeler zijn professionele debuut in het eerste elftal van de club. Op 30 november van dat jaar werd met 0–4 gewonnen op bezoek bij Spartaki Tschinvali en de Georgiër viel zeven minuten voor het einde van de wedstrijd in.[1] Tijdens zijn tweede seizoen in de hoofdmacht kwam hij tot veertien competitietreffers en hierop huurde Werder Bremen hem voor één seizoen.[2] Het gehele seizoen speelde Papoenasjvili in het tweede elftal van Werder. In de zomer van 2017 maakte de Georgiër voor circa driehonderdduizend euro de overstap naar Real Zaragoza, waar hij zijn handtekening zette onder een verbintenis voor de duur van vier seizoenen.[3] In januari 2020 werd Papoenasjvili voor een half jaar verhuurd aan Racing Santander.[4] Een jaar later mocht hij definitief vertrekken, waarop hij voor een jaar tekende bij Apollon Limasol.[5] In januari 2022 verkaste hij transfervrij naar Torpedo Koetaisi, voor een half seizoen. Hierna tekende hij voor Radnički Niš, waar hij tot maart 2023 bleef. In die maand keerde hij bij FC Samtredia terug in Georgië, om in juli naar competitiegenoot FC Telavi te verkassen. Een kleine twee maanden later verkaste Papoenasjvili naar Azerbeidzjan, waar hij voor Kəpəz PFK ging spelen. In de zomer van 2024 verkaste hij naar competitiegenoot Zirə FK.
Georgië
Zirə FK
Werder Bremen II
Real Zaragoza
Apollon Limasol
Radnički Niš
.svg){kind=small}
