In de wiskunde is een inductieve verzameling een verzameling die de lege verzameling bevat en van elk element ook de opvolger, waarbij de opvolger van een verzameling ${\displaystyle x}$ de opvolgerverzameling ${\displaystyle x'=x\cup \{x\}}$ is. Het oneindigheidsaxioma garandeert het bestaan van een inductieve verzameling.

Een verzameling ${\displaystyle I}$ heet een inductieve verzameling, als voldaan is aan:

${\displaystyle \varnothing \in I}$

en voor alle ${\displaystyle x\in I}$ geldt:

${\displaystyle x'\in I}$

waarin ${\displaystyle x'=x\cup \{x\}}$ de opvolger is van ${\displaystyle x}$.

Naar een idee van Richard Dedekind^[1] worden de natuurlijke getallen gedefinieerd met behulp van inductieve verzamelingen.

${\displaystyle \mathbb {N} =\bigcap \{x\mid x\;{\text{inductief}}\}}$

Aangezien de doorsnede van inductieve verzamelingen weer inductief is, vormen de natuurlijke getallen de kleinste inductieve verzameling, bestaande uit de lege verzameling en de successieve opvolgers.

${\displaystyle \mathbb {N} =\{\varnothing ,\varnothing ',\varnothing '',\varnothing ''',\ldots \}=\{0,1,2,3,\ldots \}}$

De transfiniete ordinaalgetallen

${\displaystyle \omega +\omega =\{0,1,2,\ldots ,n,n+1,\ldots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots \}}$

vormen ook een inductieve verzameling.

1. ↑ Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Vieweg, Braunschweig 1888, § 6, 71.β