Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Het lemma van Riemann-Lebesgue stelt dat de integraal van een functie , zoals die hierboven, klein is. De integraal zal tot nul naderen als het aantal oscillaties toeneemt.
In de wiskundige analyse , een deelgebied van de wiskunde , is het lemma van Riemann-Lebesgue , vernoemd naar Bernhard Riemann en Henri Lebesgue , van belang in de harmonische- en asymptotische analyse .
Het lemma zegt dat de fourier-transformatie of laplace-transformatie van een L 1 -functie , dus een meetbare functie met eindige absolute integraal, in het oneindige verdwijnt.
Laat
f
∈
L
1
(
R
)
{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}
zijn, dus
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
is een meetbare functie met
∫
−
∞
∞
|
f
(
x
)
|
d
x
<
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\mathrm {d} x<\infty }
Dan geldt voor de fouriergetransformeerde
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
van
f
{\displaystyle f}
, die gedefinieerd is als:
F
(
ω
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
ω
x
d
x
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,\mathrm {d} x}
dat
lim
ω
→
±
∞
|
F
(
ω
)
|
→
0
{\displaystyle \lim _{\omega \to \pm \infty }|{\mathcal {F}}(\omega )|\to 0}
Het is voldoende het bewijs te leveren voor de indicatorfunctie
f
=
1
[
a
,
b
]
{\displaystyle f=1_{[a,b]}}
van een willekeurig interval
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
.
Daarvoor geldt:
F
(
ω
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
ω
x
d
x
=
1
2
π
∫
a
b
e
−
i
ω
x
d
x
=
e
−
i
ω
a
−
e
−
i
ω
b
i
ω
2
π
→
|
ω
|
→
∞
0
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-i\omega x}\,\mathrm {d} x={\frac {e^{-i\omega a}-e^{-i\omega b}}{i\omega {\sqrt {2\pi }}}}\xrightarrow {|\omega |\to \infty } 0}
Vanwege de linariteit van de integraal geldt dit ook voor een willekeurige stapfunctie , en een willekeurige integreerbare functie is willekeurig dicht te benaden met een stapfunctie.