Het raakvlak aan een oppervlak in drie dimensies in een punt van dat oppervlak is de verzameling van alle rechten die door dat punt gaan en in dat punt loodrecht op de plaatselijke normaalvector aan het oppervlak staan. Het is een uitbreiding in drie dimensies van het begrip raaklijn aan een vlakke kromme. Het is tevens een speciaal geval van de meer algemenere raakruimte in dimensies.
Raakvlak aan een impliciet gegeven oppervlak
[bewerken | brontekst bewerken]Vergelijking
[bewerken | brontekst bewerken]Stel dat een oppervlak in drie dimensies gegeven is door middel van de vergelijking:
Dit voorschrift legt één gezamenlijke voorwaarde op aan de drie coördinaten, waardoor er slechts twee onafhankelijk kunnen gekozen worden. Laat
een punt zijn dat op dit oppervlak ligt, en de drie partiële afgeleiden van in dat punt bestaan en niet alle drie tegelijk nul zijn. Dan kan men bewijzen dat alle raaklijnen in dat punt loodrecht op de vector
staan. Merk op dat deze vector alleen afhangt van het gegeven oppervlak en het gekozen punt. De raaklijnen vormen dan samen het raakvlak, en de vector is de normaalvector van dat raakvlak. De cartesische vergelijking van het raakvlak in het gegeven punt is dan:
Voorbeeld
[bewerken | brontekst bewerken]Beschouw het oppervlak
en het punt
op dat oppervlak. De drie partiële afgeleiden zijn:
Als de coördinaten van het punt worden ingevuld, verkrijgt men de plaatselijke normaalvector
Het raakvlak in het genoemde punt is bijgevolg:
Raakvlak aan een oppervlak bepaald door twee parameters
[bewerken | brontekst bewerken]Vergelijking
[bewerken | brontekst bewerken]Een oppervlak in drie dimensies kan ook beschreven worden door middel van drie coördinaten die functie zijn van een koppel onafhankelijke parameters . Dit is een voorbeeld van een zogenaamde parametervergelijking, die in dit geval de volgende gedaante heeft:
Een punt op het oppervlak wordt nu bepaald door twee waarden en die via bovenstaande voorschriften de coördinaten van dat punt bepalen. Een punt op het oppervlak is dus te schrijven als:
Door nu in de vergelijkingen van het oppervlak eerst eens de tweede parameter constant te houden, verkrijgt men een ruimtekromme die in het oppervlak ligt, en wordt doorlopen door middel van de eerste parameter . Deze ruimtekromme gaat door het punt en bereikt dit punt meer bepaald, als . Deze ruimtekromme is dus:
De richting van de raaklijn aan een ruimtekromme wordt in het algemeen gegeven door de vector bestaande uit partiële afgeleiden naar haar parameter. Bijgevolg wordt de raakvector in het punt aan deze ruimtekromme dan bepaald door de partiële afgeleiden:
Op dezelfde manier kan men, door eens de parameter constant te houden, een tweede ruimtekromme door het punt krijgen die alleen van de tweede parameter afhangt. De raakvector aan deze tweede ruimtekromme is dan op analoge wijze:
Deze twee raakvectoren liggen in het gevraagde raakvlak, en bijgevolg staat hun vectorproduct :
loodrecht op dat raakvlak. Dit vectorproduct kan dus dienstdoen als normaalvector van het raakvlak, dat bijgevolg volledig bekend is:
Voorbeeld
[bewerken | brontekst bewerken]Het punt
op de ruimtekromme gegeven door:
heeft de parameterwaarden en . De partiële afgeleiden naar in deze parameterwaarden geven een eerste raakvector:
De partiële afgeleiden naar geven een tweede raakvector:
Het vectorproduct
is dan een normaalvector in . Het raakvlak heeft dus als vergelijking: