De stelling van Wilson is een wiskundige stelling die zegt dat dan en slechts dan een priemgetal is, als:
- .
De congruentie kan ook worden geformuleerd als: is een deler van .
De stelling werd voor het eerst geformuleerd door Ibn al-Haytham, ook bekend als Alhazen, maar is naar John Wilson genoemd. Wilson was een student van Edward Waring. Die formuleerde de stelling in 1770, maar noch hijzelf noch Wilson konden de stelling bewijzen. Lagrange gaf het eerste bewijs in 1771. Leibniz kende de stelling een eeuw eerder ook, maar publiceerde die niet.
Voor de notaties ! faculteit en ≡ congruent zie aldaar.
Bewijs
Uit het ongerijmde: stel dat door is te delen en dat weer door een getal met is te delen. Omdat een van de getallen is, is door te delen. is ook door te delen, dus zou ook 1 door te delen zijn. Dit is in tegenspraak met de veronderstelling.
Omgekeerd
- Eerste bewijs
Dit bewijs gebruikt dat voor een priemgetal de verzameling een groep is onder vermenigvuldiging modulo . Dit betekent dat er voor ieder element een uniek invers element is zodanig dat . Als , dan is en omdat een priemgetal is, moet of .
Met andere woorden: 1 en zijn hun eigen inverse, maar ieder ander element van heeft een inverse verschillend van zichzelf. Als dus paarsgewijs alle elementen van met hun inverse bij elkaar genomen worden en allemaal met elkaar vermenigvuldigd, is het product modulo gelijk aan −1.
Voor is bijvoorbeeld
In het geval dat is de stelling eenvoudig te controleren.
- Tweede bewijs
Stel p is een priemgetal groter dan 2. Beschouw de polynomen
en
- .
De constante term in is .
is een polynoom, waarvan de graad ten hoogste is, met dus ten hoogste nulpunten; Modulo geldt hetzelfde. Volgens de kleine stelling van Fermat is ieder van de getallen een nulpunt van . Dit is onmogelijk, tenzij , oftewel tenzij iedere coëfficiënt van door is te delen, en de constante dus ook.
Samengestelde getallen
Voor samengestelde getallen geldt:
- ,
d.w.z. is deelbaar door .
Voor is:
Algemene vorm van de stelling
Een algemene vorm is voor ieder oneven priemgetal en voor ieder positief geheel getal kleiner dan :
hetgeen met volledige inductie is te bewijzen.
Van Gauss is de volgende vorm van de stelling bekend:[1]
waarin een oneven priemgetal is.
Voorbeeld
De volgende tabel toont de waarden van van 2 tot 30, en . Als een priemgetal is, dan is de achtergrondkleur roze. En als een samengesteld getal is, dan is de achtergrondkleur lichtgroen.
Tabel van rest modulo 2 1 1 3 2 2 4 6 2 5 24 4 6 120 0 7 720 6 8 5040 0 9 40320 0 10 362880 0 11 3628800 10 12 39916800 0 13 479001600 12 14 6227020800 0 15 87178291200 0 16 1307674368000 0 17 20922789888000 16 18 355687428096000 0 19 6402373705728000 18 20 121645100408832000 0 21 2432902008176640000 0 22 51090942171709440000 0 23 1124000727777607680000 22 24 25852016738884976640000 0 25 620448401733239439360000 0 26 15511210043330985984000000 0 27 403291461126605635584000000 0 28 10888869450418352160768000000 0 29 304888344611713860501504000000 28 30 8841761993739701954543616000000 0
- ↑ Oefening 1.22 in (en) Everest, Graham, Ward, Thomas (2005). An Introduction to Number Theory. Springer Graduate Texts in Mathematics 232, Londen, "Hoofdstuk 1. A Brief History of Prime", 7-42. ISBN 978-1-85233-917-3. Voor verdwijnt het onderscheid tussen de twee gevallen.