De operatorentheorie, een tak van het wiskundige studiegebied der functionaalanalyse, associeert met iedere continue lineaire operator tussen twee topologische vectorruimten een toegevoegde operator, ook wel geadjungeerde operator genoemd.
Definitie
Laat en topologische vectorruimten zijn en
een continue lineaire afbeelding.
Noteer voor de duale topologische vectorruimte van met de zwak-*-topologie. De elementen van zijn de continue lineaire afbeeldingen van naar zijn scalairenlichaam (de reële of de complexe getallen). Zij de duale van
De toegevoegde operator wordt gedefinieerd via de rechtse samenstelling met de transformatie
Met andere woorden, voor een gegeven continue lineaire afbeelding
is de afbeelding gedefinieerd door het functievoorschrift
- .
Uit dit voorschrift volgen onmiddellijk de continuïteit en de lineariteit van Men kan ook aantonen dat de aldus gedefinieerde toegevoegde operator een continue lineaire afbeelding is.
Genormeerde vectorruimte
Als en genormeerde vectorruimten zijn, dan kunnen de duale vectorruimten en ook worden opgevat als genormeerde vectorruimten. De hierboven gedefinieerde toegevoegde operator is eveneens continu ten opzichte van deze normen, en
Geconjugeerde getransponeerde matrix
Als en eindigdimensionaal zijn, met dimensies respectievelijk en en voor beide wordt een vaste basis gekozen, dan is elke lineaire afbeelding van in continu en wordt deze uniek bepaald door een -matrix.
Ten opzichte van de canonieke duale bases van de duale ruimten wordt een lineaire afbeelding bepaald door de matrix de geconjugeerde getransponeerde van de matrix ten opzichte van de oorspronkelijke bases.
Hilbertruimten
Als en (pre-)hilbertruimten zijn, dan zijn ze beide uitgerust met een inproduct. Het inproduct zorgt voor een natuurlijke identificatie van de ruimte met haar duale:
In complexe hilbertruimten () geldt de bijkomende complicatie dat het inproduct niet symmetrisch, maar Hermitisch is, zie ook hierboven.
Zelftoegevoegde continue operator
Als een continue lineaire transformatie is van een hilbertruimte (), dan kunnen en met elkaar vergeleken worden. In het eindigdimensionale geval komt dit overeen met vierkante matrices.
Men noemt zelftoegevoegd als
Onbegrensde operatoren in een hilbertruimte
De kwantummechanica maakt vaak gebruik van lineaire transformaties van een deelverzameling van de hilbertruimte die niet kunnen worden uitgebreid tot continue lineaire transformaties van de gehele hilbertruimte. Bekende voorbeelden zijn de Laplace-operator in en algemener de meeste Schrödinger-operatoren.
Als
een (niet noodzakelijk continue) lineaire afbeelding is van een deelvectorruimte van de hilbertruimte naar diezelfde hilbertruimte, en het domein van is topologisch dicht in dan kan men nog steeds de toegevoegde operator definiëren met het voorschrift
Het domein van bestaat uit de vectoren waarvoor het linkerlid een continue lineaire functionaal in oplevert.
Men kan aantonen dat een gesloten operator is, dat wil zeggen dat zijn grafiek
een gesloten deelverzameling is van .
Als zelf een gesloten, dicht gedefinieerde operator is, dan is eveneens dicht gedefinieerd:
- ,
en in dat geval is de toegevoegde van opnieuw zelf:
- .
Symmetrische onbegrensde operator
heet symmetrisch als
- en .
Zelftoegevoegde onbegrensde operator
heet zelftoegevoegd als
- en .