In de lineaire algebra is een householdertransformatie een reflectie (spiegeling) in de euclidische ruimte ten opzichte van een hypervlak dat door de oorsprong gaat. Het spiegelvlak wordt bepaald door een normaalvector u van lengte 1 (een eenheidsvector). De transformatie is een voorbeeld van een lineaire afbeelding. De transformatie is genoemd naar de Amerikaanse wiskundige Alston Scott Householder, die ze in 1958 invoerde.^[1]

In matrixvorm kan ze uitgedrukt worden als:

${\displaystyle H=I-2uu^{T}}$,

waarin ${\displaystyle I}$ de eenheidsmatrix is. De matrix ${\displaystyle H}$ is symmetrisch en orthogonaal. Het product van ${\displaystyle H}$ met een vector ${\displaystyle y}$ komt overeen met de spiegeling van ${\displaystyle y}$ aan het hypervlak door de oorsprong loodrecht op ${\displaystyle u}$.

Een eindig aantal householdertransformaties kan dienen om de QR-decompositie van een matrix te berekenen. Elk creëert nullen onder de diagonaal van een van de kolommen van de matrix; en transformeert haar zo tot een bovendriehoeksmatrix (analoog aan wat bij Gauss-eliminatie gebeurt).

Om de vector ${\displaystyle x}$ met een spiegeling ${\displaystyle H}$ zo te spiegelen dat de gespiegelde ${\displaystyle Hx}$ op de x-as ligt, moet gespiegeld worden aan een hypervlak dat de hoek tussen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0)}$ in twee gelijke delen verdeelt. De genormeerde normaalvector van dat hypervlak is:

${\displaystyle u={\frac {x-\|x\|e_{1}}{\|x-\|x\|e_{1}\|}}}$.

De gespiegelde vector is dan

${\displaystyle Hx=(\|x\|,0,\ldots ,0)}$.

Het beeld van een vector onder een householdertransformatie kan men snel berekenen: men moet ${\displaystyle 2uu^{T}x}$ aftrekken van ${\displaystyle x}$. Dit vereist de berekening van een inwendig product en het verschil van een vector met een veelvoud van een andere vector.

In de QR-decompositie wordt een matrix ${\displaystyle A}$ herleid tot een bovendriehoeksmatrix ${\displaystyle R}$ door opeenvolgende householdertransformaties ${\displaystyle H_{1},H_{2},...H_{p}}$, met normaalvectoren ${\displaystyle u_{1},u_{2},...}$ die orthogonaal zijn ten opzichte van elkaar, zodanig dat in de kolommen van ${\displaystyle A}$ de elementen onder de diagonaal nul worden. Dan is

${\displaystyle R=H_{p}\cdots H_{2}H_{1}A}$

De orthogonale matrix ${\displaystyle Q}$ wordt bepaald door ${\displaystyle R=Q^{T}A}$; dat wil zeggen:

${\displaystyle Q^{T}=H_{p}\cdots H_{1}}$

De QR-decompositie kan men ook langs andere wegen bekomen, bijvoorbeeld via givensrotaties.